2月13日のしゅくだい2

しゅくだいときます。
\begin{align*}
N_t = B_t^3-3tB_t
\end{align*}
がマルチンゲールである。

しょうめい：
をブラウン運動によって生成されるフィルトレーションとする。
ブラウン運動はガウス分布に従うので、は可積分である。
とする。
\begin{align}
N_t
&= (B_t-B_s + B_s)^3 - 3tB_t \\
&= (B_t-B_s)^3 + 3B_s(B_t-B_s)^2 + 3B_s^2(B_t-B_s) + B_s^3 - 3tB_t
\end{align}
である。
第1項の条件付き期待値は、
\begin{align*}
E[(B_t-B_s)^3|\mathcal{F}_s]
&= E[(B_t-B_s)^3] \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi (t-s)}} \int x^3 e^{-\frac{x^2}{2(t-s)}} dx \\
&= 0,
\end{align*}
第2項は
\begin{align*}
E[B_s(B_t-B_s)^2|\mathcal{F}_s]
&= B_sE[(B_t-B_s)^2|\mathcal{F_s}] \\
&= B_sE[(B_t-B_s)^2] \\
&= (t-s)B_s,
\end{align*}
第3項は
\begin{align*}
E[B_s^2(B_t-B_s)|\mathcal{F}_s]
&= B_s^2 E[B_t-B_s] \\
&= 0
\end{align*}
である。

よって、がマルチンゲールになることと合わせると
\begin{align*}
E[N_t|\mathcal{F}_s]
&= 3(t-s)B_s + B_s^3 -3tB_s \\
&= B_s^3 - 3sB_s \\
&= N_s
\end{align*}
となる。□