2月13日のしゅくだい4 - やがてめぐになる

しゅくだいです。正直、イェンセンの不等式から明らかです。

$X\in L^2(P)$ 、 $\mathcal{H}$ を $\mathcal{F}$ の部分 $\sigma$ -加法族のとき、
\begin{align*}
E[(E[X|\mathcal{G}])^2] \leq E[X^2] \tag{1}
\end{align*}

しょうめい：
$x\mapsto x^2$ は凸関数なので、イェンセンの不等式より、
\begin{align*}
(E[X|\mathcal{H}])^2 \leq E[X^2|\mathcal{H}]
\end{align*}
である。
よって、両辺期待値をとれば、(1)を得る。□

補題6.1.1を見よともあります。
ヒルベルト空間 $L^2$ において、 $\mathcal{H}$ 可測な確率変数のなす部分空間を $\mathcal{N}$ とする。
補題6.1.1より、 $L^2\ni X\mapsto E[X|\mathcal{N}$ ]は $\mathcal{N}$ への直交射影 $P_{\mathcal{N}}$ なので、
\begin{align*}
E[(E[X|\mathcal{G}])^2]
&= \Vert P_{\mathcal{N}}X \Vert_{L^2}^2 \\
&\leq \Vert P_{\mathcal{N}} \Vert^2 \Vert X \Vert_{L^2}^2 \\
&\leq \Vert X \Vert_{L^2}^2 = E[X^2]
\end{align*}
となる。