4月10日のしゅくだい(7.17)

7.17ときます。

問題4.15より、
\begin{align*}
X_t = \left( x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}B_t \right)^3
\end{align*}
はSDE(7.5.6)を満たす。すなわち、
\begin{align*}
X_t
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t X_s^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t X_s^{\frac{2}{3}} ds
\end{align*}
の解である。
停止時刻、とする。
\begin{align*}
Y_t
:&=
\begin{cases}
X_t, & t\leq T, \\
0, & t > T
\end{cases} \\
&= X^T_t
\end{align*}
は、
\begin{align*}
X_t^T
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t X_s^{\frac{1}{3}}\boldsymbol{1}_{t\leq T} ds + \int_0^t X_s^{\frac{2}{3}}\boldsymbol{1}_{t\leq T} ds \\
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t (X^T_s)^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t (X^T_s)^{\frac{2}{3}} ds
\end{align*}
より、
\begin{align*}
Y_t
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t Y_s^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t Y_s^{\frac{2}{3}} ds
\end{align*}
を満たす。
この事実は、関数、がリプシッツ条件を満たさないことから、定理5.2.1のいう一意性とは矛盾しない。□