2月13日のしゅくだい - やがてめぐになる

3.8 b)やります。
$(\mathcal{F}_t)$ -マルチンゲール $(M_t)_{t\geq 0}$ が、ある $p>1$ に対して
\begin{align*}
\sup_{t\geq 0}E[|M_t|^p]<\infty
\end{align*}
を満たすならば、 $Y\in L^1$ が存在して
\begin{align*}
M_t=E[Y|\mathcal{F}_t]
\end{align*}
である。

しょうめい：
Corollary C.7より、 $M_t$ の概収束先かつ $L^1$ 収束先を $Y$ とおく。
\begin{align*}
\tilde{M}_t = E[Y|\mathcal{F}_t]
\end{align*}
とおくと、任意の $t\geq 0$ と任意の $s>t$ に対し
\begin{align*}
E[|M_t - \tilde{M}_t|]
&= E\left[ \left|E[M_s|\mathcal{F}_t] - E[Y|\mathcal{F}_t] \right| \right] \\
&\leq E[E[|M_s-Y||\mathcal{F}_t]] \\
&= E[|M_s - Y|]
\end{align*}
となる。
$M_s\to Y$ in $L^1$ 、すなわち
\begin{align*}
E[|M_s-Y|]\to 0, \quad s\to \infty
\end{align*}
より、
\begin{align*}
E[|M_t-\tilde{M}_t|]=0
\end{align*}
よって、任意の $t\geq 0$ に対して、 $M_t = \tilde{M}_t~\mbox{a.s.}$ を得る。□