5.9ときます。しょうめい ドリフト係数、拡散係数はともに定理5.2.1の(5.2.1),(5.2.2)を満たす。よって、定理5.2.1より連続な一意な強い解が存在する。□ 5.14ときます。 しょうめい (i) であり、伊藤の公式の2階部分はが調和関数であることと、であることか…

を連続な確率過程とする。このとき、 \begin{align*} P(X_r= 0,~\forall r\in\mathbb{Q}^+)=1 \end{align*} ならば、 \begin{align*} P(X_t=0,~\forall t\geq 0)=1 \end{align*} である。しょうめい 仮定より、である。 が連続なので、 \begin{align*} \bigc…

5.3ときます。とを次元ブラウン運動とする。 次のSDE \begin{align*} dX_t = rX_t dt + X_t \alpha\cdot dB_t, \quad X_0 > 0 \end{align*} の解を求める。ただし、“”は通常のユークリッド内積を表す。と置き、伊藤の公式を使うと、 \begin{align*} dY_t &= …

A solution of Exercise 3.14 in the Øksendal SDE book is given in this article. It seems this exercise to be complex and require careful observation. Let be the filtration generated by the Brownian motion .We see obviously that is -measurab…

4.12 ヒントを使います。面倒なので、以下ではを単にと書くことにします。任意のと任意のに対し、が-マルチンゲールなので、 \begin{align*} E\left[ \int_t^s u(r) dr \boldsymbol{1}_A \right]=0 \end{align*} である。 ここで、で微分すると(優収束定理)…

問題4.6(b)を示せば、とすることで(a)が得られる。よって(a)のみを示す。 中点""でのユークリッド内積を表すとし、とおく。 \begin{align*} & \partial_t f(t,x) = cf(t,x), \\ & \nabla_x f(t,x) = f(t,x)\alpha, \\ & \partial_{x_ix_j}f(t,x) = f(t,x)\al…

The following might be nontrivial so I will write down a proof. Claim Assume that the filtration satisfies the usual conditions. Let be a Lévy process (with càdlàg sample paths) adapted to and be a Borel set in such that . Define the rando…