In this article, some equalities are introduced for showing the Markov property of stochastic processes. After then, we demonstrate the Markov property of a geometric Brownian motion.In what follows, represents a probability space and the …

7.17ときます。問題4.15より、 \begin{align*} X_t = \left( x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}B_t \right)^3 \end{align*} はSDE(7.5.6)を満たす。すなわち、 \begin{align*} X_t &= x + \frac{1}{3} \int _0^t X_s^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t X_s^{\frac{2}…

7.12ときます。a) 停止時刻の列 a.s. とする。このとき、はマルチンゲールである。 よって、、に対し、 \begin{align} E[Z^{T_n}_t\boldsymbol{1}_A] &= E[Z^{T_n}_s\boldsymbol{1}_A] \tag{1} \end{align} となる。各 に対し、 は に関して一様化積分なので…

7.7ときます。ウィーナー空間に引き戻せばブラウン運動の分布はウィーナー測度を誘導するので、最初からウィーナー空間上で考えることにする。 , である。a) 問題2.15より、直行行列 に対し、 もウィーナー測度のもとでブラウン運動である。また、は等長変換…

しゅくだい(7.2)ときます。 定理7.3.3を用いると簡単な計算により、次が得られる: (a) (b) \begin{align*} d \begin{pmatrix} t \\ X_t \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ cX_t \end{pmatrix} dt + \begin{pmatrix} 0 \\ \alpha X_t \end{pmatrix} dB_t…