しゅくだいです。正直、イェンセンの不等式から明らかです。、をの部分-加法族のとき、 \begin{align*} E[(E[X|\mathcal{G}])^2] \leq E[X^2] \tag{1} \end{align*}しょうめい： は凸関数なので、イェンセンの不等式より、 \begin{align*} (E[X|\mathcal{H}]…

しゅくだいときます。(i) ならば、とは独立 (ii) は定常 (iii) すべてのに対し、]を満たす実数値確率過程で連続なものはなるものを除いて存在しない。しょうめい： Step 1) に対し、とする。 このとき、各に対して、は連続であるので、これととの合成である…

しゅくだいときます。 \begin{align*} N_t = B_t^3-3tB_t \end{align*} がマルチンゲールである。しょうめい： をブラウン運動によって生成されるフィルトレーションとする。 ブラウン運動はガウス分布に従うので、は可積分である。 とする。 \begin{align} …

3.8 b)やります。 -マルチンゲールが、あるに対して \begin{align*} \sup_{t\geq 0}E[|M_t|^p] \end{align*} を満たすならば、が存在して \begin{align*} M_t=E[Y|\mathcal{F}_t] \end{align*} である。しょうめい： Corollary C.7より、の概収束先かつ収束…

出されたしゅくだいの1問目です。 \begin{align} \int_0^t sdBs=tB_t-\int_0^t B_sds \tag{☆} \end{align} こたえ： とすると、に対し、より可測であり、であり、いずれもに含まれるので、適合している。 また、 \begin{align*} E\left[ \int_0^t s^2ds \rig…

先週習ったので、忘れないうちにまとめたいと思います。 条件付き確率の定義 まずは最も基本的な条件付き確率の定義から。 を確率空間とします。 、として、を与えたときのの条件付確率は \begin{align*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*} です…