ガウス過程に出てくる計算で使う式をメモしとくよ！ を 次元正規分布 に従う確率変数とし、 を -値確率変数とする。また、確率変数 は 次元正規分布 に従うとする。ただし、 \begin{align*} \mu = \begin{pmatrix} \mu_n \\ \mu_m \end{pmatrix}, \quad V = …

In this article, some equalities are introduced for showing the Markov property of stochastic processes. After then, we demonstrate the Markov property of a geometric Brownian motion.In what follows, represents a probability space and the …

7.17ときます。問題4.15より、 \begin{align*} X_t = \left( x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}B_t \right)^3 \end{align*} はSDE(7.5.6)を満たす。すなわち、 \begin{align*} X_t &= x + \frac{1}{3} \int _0^t X_s^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t X_s^{\frac{2}…

7.12ときます。a) 停止時刻の列 a.s. とする。このとき、はマルチンゲールである。 よって、、に対し、 \begin{align} E[Z^{T_n}_t\boldsymbol{1}_A] &= E[Z^{T_n}_s\boldsymbol{1}_A] \tag{1} \end{align} となる。各 に対し、 は に関して一様化積分なので…

7.7ときます。ウィーナー空間に引き戻せばブラウン運動の分布はウィーナー測度を誘導するので、最初からウィーナー空間上で考えることにする。 , である。a) 問題2.15より、直行行列 に対し、 もウィーナー測度のもとでブラウン運動である。また、は等長変換…

しゅくだい(7.2)ときます。 定理7.3.3を用いると簡単な計算により、次が得られる: (a) (b) \begin{align*} d \begin{pmatrix} t \\ X_t \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ cX_t \end{pmatrix} dt + \begin{pmatrix} 0 \\ \alpha X_t \end{pmatrix} dB_t…

5.9ときます。しょうめい ドリフト係数、拡散係数はともに定理5.2.1の(5.2.1),(5.2.2)を満たす。よって、定理5.2.1より連続な一意な強い解が存在する。□ 5.14ときます。 しょうめい (i) であり、伊藤の公式の2階部分はが調和関数であることと、であることか…

を連続な確率過程とする。このとき、 \begin{align*} P(X_r= 0,~\forall r\in\mathbb{Q}^+)=1 \end{align*} ならば、 \begin{align*} P(X_t=0,~\forall t\geq 0)=1 \end{align*} である。しょうめい 仮定より、である。 が連続なので、 \begin{align*} \bigc…

5.3ときます。とを次元ブラウン運動とする。 次のSDE \begin{align*} dX_t = rX_t dt + X_t \alpha\cdot dB_t, \quad X_0 > 0 \end{align*} の解を求める。ただし、“”は通常のユークリッド内積を表す。と置き、伊藤の公式を使うと、 \begin{align*} dY_t &= …

A solution of Exercise 3.14 in the Øksendal SDE book is given in this article. It seems this exercise to be complex and require careful observation. Let be the filtration generated by the Brownian motion .We see obviously that is -measurab…

4.12 ヒントを使います。面倒なので、以下ではを単にと書くことにします。任意のと任意のに対し、が-マルチンゲールなので、 \begin{align*} E\left[ \int_t^s u(r) dr \boldsymbol{1}_A \right]=0 \end{align*} である。 ここで、で微分すると(優収束定理)…

問題4.6(b)を示せば、とすることで(a)が得られる。よって(a)のみを示す。 中点""でのユークリッド内積を表すとし、とおく。 \begin{align*} & \partial_t f(t,x) = cf(t,x), \\ & \nabla_x f(t,x) = f(t,x)\alpha, \\ & \partial_{x_ix_j}f(t,x) = f(t,x)\al…

The following might be nontrivial so I will write down a proof. Claim Assume that the filtration satisfies the usual conditions. Let be a Lévy process (with càdlàg sample paths) adapted to and be a Borel set in such that . Define the rando…

しゅくだいです。正直、イェンセンの不等式から明らかです。、をの部分-加法族のとき、 \begin{align*} E[(E[X|\mathcal{G}])^2] \leq E[X^2] \tag{1} \end{align*}しょうめい： は凸関数なので、イェンセンの不等式より、 \begin{align*} (E[X|\mathcal{H}]…

しゅくだいときます。(i) ならば、とは独立 (ii) は定常 (iii) すべてのに対し、]を満たす実数値確率過程で連続なものはなるものを除いて存在しない。しょうめい： Step 1) に対し、とする。 このとき、各に対して、は連続であるので、これととの合成である…

しゅくだいときます。 \begin{align*} N_t = B_t^3-3tB_t \end{align*} がマルチンゲールである。しょうめい： をブラウン運動によって生成されるフィルトレーションとする。 ブラウン運動はガウス分布に従うので、は可積分である。 とする。 \begin{align} …

3.8 b)やります。 -マルチンゲールが、あるに対して \begin{align*} \sup_{t\geq 0}E[|M_t|^p] \end{align*} を満たすならば、が存在して \begin{align*} M_t=E[Y|\mathcal{F}_t] \end{align*} である。しょうめい： Corollary C.7より、の概収束先かつ収束…

出されたしゅくだいの1問目です。 \begin{align} \int_0^t sdBs=tB_t-\int_0^t B_sds \tag{☆} \end{align} こたえ： とすると、に対し、より可測であり、であり、いずれもに含まれるので、適合している。 また、 \begin{align*} E\left[ \int_0^t s^2ds \rig…

先週習ったので、忘れないうちにまとめたいと思います。 条件付き確率の定義 まずは最も基本的な条件付き確率の定義から。 を確率空間とします。 、として、を与えたときのの条件付確率は \begin{align*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*} です…