2月13日のしゅくだい1

出されたしゅくだいの1問目です。
\begin{align}
\int_0^t sdBs=tB_t-\int_0^t B_sds \tag{☆}
\end{align}

こたえ：
とすると、に対し、より可測であり、であり、いずれもに含まれるので、適合している。
また、
\begin{align*}
E\left[ \int_0^t s^2ds \right]
&=\int_0^t s^2ds\\
&=\frac{t^3}{3}
\end{align*}
である。
以上より、がいえる。


とし、
\begin{align*}
f_n(s,\omega)=\sum_{j=1}^{2^{n}-1}t^{n}_{j}\boldsymbol{1}_{(t^{n}_{j},t^{n}_{j+1}]}(s)
\end{align*}
とする。
このとき、はの列であり、に各点収束する。
また、優収束定理より、
\begin{align*}
E\left[ \int_0^t |f_n(s)-f(s)|^2 ds \right]\to 0, \quad n\to\infty
\end{align*}
が得られ、 in がいえる。
さて、
\begin{align}
\int_0^tf_n(s)dB_s
&= \sum_j t^n_j(B_{t^n_{j+1}}-B_{t^n_j}) \\
&= t^n_{2^n-1}(B_{t^n_{2^n}}-B_{t^n_{2^n-1}}) \\
&\quad + t^n_{2^n-2}(B_{t^n_{2^n-1}}-B_{t^n_{2^n-2}}) \\
&\qquad \vdots \\
&\quad + t^n_2(B_{t^n_{3}}-B_{t^n_{2}}) \\
&\quad + t^n_1(B_{t^n_{2}}-B_{t^n_{1}}) \\
&= t^n_{2^n-1}B_t - \sum_j B_{t^n_{j}}(t^n_{j}-t^n_{j-1}) \tag{1}
\end{align}
を得る。
(1)の第1項は
\begin{align*}
E[|t^n_{2^n-1}-t|^2B_t^2]=|t^n_{2^n-1}-t|^2t\to 0, \quad n\to\infty
\end{align*}
より、に収束する。
また、(1)の第2項は
\begin{align*}
\int_0^t X^n_sds
\end{align*}
である。
ただし、
\begin{align*}
X^n_s = \sum_{j=1}^{2^n-1}B_{t^n_j}\boldsymbol{1}_{(t^n_{j-1},t^n_{j}]}(s)
\end{align*}
とおいた。
ヘルダーの不等式とフビニの定理より、
\begin{align*}
E\left[ \left( \int_0^t (X^n_s-B_s) ds \right)^2 \right]
&\leq t E\left[ \int_0^t |X^n_s-B_s|^2 ds \right] \\
&= t \int_0^t ds E[|X^n_s-B_s|^2] \\
&\leq t\int_0^t ds \frac{t}{2^n}\\
&= \frac{t^3}{2^n} \to 0, \quad n\to\infty
\end{align*}
を得る。
よって、(1)の第2項はに収束する。
以上より、(☆)がいえた。□


残りの3問はまたこんどやります。