さんすう
Let be a separable Hilbert space and represents the norm induced by the inner product of , and let be a self-adjoint operator on bounded from below and denotes the domain of . Suppose is an eigenvalue with multiplicity 1 attaining the valu…
I make a note about the title because it took a hard time finding a proof. This topic relates to an abstract Wiener space in the Malliavin calculus.Proposition. Let be a real separable Banach space and be a real separable Hilbert space emb…
In this article, we introduce how to solve simultaneous linear equations with NISQ, which is the abbreviation for Noisy Intermediate Scaled Quantum, from Xu et al. [1].We consider the following linear equation: \begin{align*} Ax=b, \tag{1}…
りょうしじょうほうで出てきたので整理するよ～In this article, we introduce that any square matrix can be decomposed as the linear combination of the Pauli matrices.Denote by the set of all square matrices of order whose components value on …
ガウス過程に出てくる計算で使う式をメモしとくよ！ を 次元正規分布 に従う確率変数とし、 を -値確率変数とする。また、確率変数 は 次元正規分布 に従うとする。ただし、 \begin{align*} \mu = \begin{pmatrix} \mu_n \\ \mu_m \end{pmatrix}, \quad V = …
In this article, some equalities are introduced for showing the Markov property of stochastic processes. After then, we demonstrate the Markov property of a geometric Brownian motion.In what follows, represents a probability space and the …
5.9ときます。しょうめい ドリフト係数、拡散係数はともに定理5.2.1の(5.2.1),(5.2.2)を満たす。よって、定理5.2.1より連続な一意な強い解が存在する。□ 5.14ときます。 しょうめい (i) であり、伊藤の公式の2階部分はが調和関数であることと、であることか…
を連続な確率過程とする。このとき、 \begin{align*} P(X_r= 0,~\forall r\in\mathbb{Q}^+)=1 \end{align*} ならば、 \begin{align*} P(X_t=0,~\forall t\geq 0)=1 \end{align*} である。しょうめい 仮定より、である。 が連続なので、 \begin{align*} \bigc…
5.3ときます。とを次元ブラウン運動とする。 次のSDE \begin{align*} dX_t = rX_t dt + X_t \alpha\cdot dB_t, \quad X_0 > 0 \end{align*} の解を求める。ただし、“”は通常のユークリッド内積を表す。と置き、伊藤の公式を使うと、 \begin{align*} dY_t &= …
A solution of Exercise 3.14 in the Øksendal SDE book is given in this article. It seems this exercise to be complex and require careful observation. Let be the filtration generated by the Brownian motion .We see obviously that is -measurab…
4.12 ヒントを使います。面倒なので、以下ではを単にと書くことにします。任意のと任意のに対し、が-マルチンゲールなので、 \begin{align*} E\left[ \int_t^s u(r) dr \boldsymbol{1}_A \right]=0 \end{align*} である。 ここで、で微分すると(優収束定理)…
問題4.6(b)を示せば、とすることで(a)が得られる。よって(a)のみを示す。 中点""でのユークリッド内積を表すとし、とおく。 \begin{align*} & \partial_t f(t,x) = cf(t,x), \\ & \nabla_x f(t,x) = f(t,x)\alpha, \\ & \partial_{x_ix_j}f(t,x) = f(t,x)\al…
The following might be nontrivial so I will write down a proof. Claim Assume that the filtration satisfies the usual conditions. Let be a Lévy process (with càdlàg sample paths) adapted to and be a Borel set in such that . Define the rando…
しゅくだいです。正直、イェンセンの不等式から明らかです。、をの部分-加法族のとき、 \begin{align*} E[(E[X|\mathcal{G}])^2] \leq E[X^2] \tag{1} \end{align*}しょうめい： は凸関数なので、イェンセンの不等式より、 \begin{align*} (E[X|\mathcal{H}]…
しゅくだいときます。(i) ならば、とは独立 (ii) は定常 (iii) すべてのに対し、]を満たす実数値確率過程で連続なものはなるものを除いて存在しない。しょうめい： Step 1) に対し、とする。 このとき、各に対して、は連続であるので、これととの合成である…
しゅくだいときます。 \begin{align*} N_t = B_t^3-3tB_t \end{align*} がマルチンゲールである。しょうめい： をブラウン運動によって生成されるフィルトレーションとする。 ブラウン運動はガウス分布に従うので、は可積分である。 とする。 \begin{align} …
3.8 b)やります。 -マルチンゲールが、あるに対して \begin{align*} \sup_{t\geq 0}E[|M_t|^p] \end{align*} を満たすならば、が存在して \begin{align*} M_t=E[Y|\mathcal{F}_t] \end{align*} である。しょうめい： Corollary C.7より、の概収束先かつ収束…
出されたしゅくだいの1問目です。 \begin{align} \int_0^t sdBs=tB_t-\int_0^t B_sds \tag{☆} \end{align} こたえ： とすると、に対し、より可測であり、であり、いずれもに含まれるので、適合している。 また、 \begin{align*} E\left[ \int_0^t s^2ds \rig…
先週習ったので、忘れないうちにまとめたいと思います。 条件付き確率の定義 まずは最も基本的な条件付き確率の定義から。 を確率空間とします。 、として、を与えたときのの条件付確率は \begin{align*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{align*} です…
