2月13日のしゅくだい3 - やがてめぐになる

しゅくだいときます。

(i) $t_1\neq t_2$ ならば、 $W_{t_1}$ と $W_{t_2}$ は独立
(ii) $(W_t)$ は定常
(iii) すべての $t$ に対し、 $E[W_t$ ] $=0$

を満たす実数値確率過程 $(W_t)$ で連続なものは $W_t\equiv 0$ なるものを除いて存在しない。

しょうめい：
Step 1) $N=1,2,\dots$ に対し、 $W^N_t=(-N)\vee (W_t\wedge N)$ とする。
このとき、各 $N$ に対して、 $x\mapsto (-N)\vee (x\wedge N)$ は連続であるので、これと $W$ との合成である $W^N$ は(i),(ii)を満たす。
(ヒントの通り計算する。)
\begin{align*}
E[(W^N_t - W^N_s)^2]
&= E[(W^N_t)^2] - 2E[W^N_tW^N_s] + E[(W^N_s)^2]\\
&= 2E[(W^N_0)^2 - (E[W^N_0])^2] \\
&= 2E[(W^N_u - E[W^N_0])^2]
\end{align*}
が任意の $u$ で成り立つ。
今、 $W$ が連続過程であると仮定する。
すると、 $W^N$ も連続であり、したがって $t\to s$ とすると、優収束定理(有界収束定理)より
\begin{align*}
E[(W^N_u - E[W^N_0])^2] = 0
\end{align*}
を得る。
よって、
\begin{align*}
W^N_u = E[W^N_0] \tag{1}
\end{align*}
である。
よって、 $W^N$ は定数過程である。

Step 2) 任意の $u$ に対し(1)が成り立つことより $W^N_0=W^N_u$ なので、
\begin{align*}
&\{W_0>N\} = \{W_u>N\} \\
&\{W_0<-N\} = \{W_u<-N\} \\
&\{-N\leq W_0\leq N\} = \{-N\leq W_0\leq N\}
\end{align*}
が分かる。
このとき、任意の $N$ に対して、次の①～③のいずれか1つのみが成り立つ：
① $P(W_0>N)=1$
② $P(W_0<-N)=1$
③ $P(-N\leq W_0\leq N)=1$
∵) ①については、 $A_0=\{W_0>N\},~A_u=\{W_u>N\}$ とおくと、すでに述べたように $A_0=A_u$ で、(i)より $A_0$ と $A_u$ は独立であること、そして(ii)より、
\begin{align*}
P(A_0)
&= P(A_0\cap A_u) \\
&= P(A_0)P(A_u) \\
&= P(A_0)^2
\end{align*}
となり、 $P(A_0)=0,1$ を得られる。②、③も同様。①～③の事象は互いに素なので、いずれか1つのみが成り立つ。

Step 3) 任意の $N$ に対して、 $P(-N\leq W_0 \leq N)=1$ が成り立つことを示す。
ある $N$ で①が成り立つとすると、 $E[W_0]=E[W_0;W_0>N]\geq N$ となり、 $E[W_0]=0$ に反する。
②も同様。
よって、任意の $N$ に対し、 $P(-N\leq W_0 \leq N)=1$ である。

Step 3)より、特に $N=1$ としておくと、
\begin{align*}
W_u
&= W^N_u \\
&= E[W^N_0] \\
&= E[W_0] = 0
\end{align*}
となり、 $W\equiv 0$ を得る。この $W$ は(i)～(iii)を満たす。□