4月10日のしゅくだい(7.7) - やがてめぐになる

7.7ときます。

ウィーナー空間に引き戻せばブラウン運動の分布はウィーナー測度を誘導するので、最初からウィーナー空間上で考えることにする。
$D=B(0,{}^\exists r)\subset \mathbb{R}^n$
$T_D:=\tau_D= \inf\{t>0~;~B_t\notin D\}$
$\mu^x_D(A) := P^x(B_{T_D}\in A)$ , $A\subset \partial D,~x\in\mathbb{R}^n$
である。

a) 問題2.15より、直行行列 $U\in\mathbb{R}^{n\times n}$ に対し、 $UB_t$ もウィーナー測度 $P^0$ のもとでブラウン運動である。また、 $U$ は等長変換なので、 $|B_t|=|UB_t|$ であることより、 $T_D=\inf\{t>0~;~UB_t\notin D\}$ も分かる。
よって $A\subset\partial D$ に対し、 $P^0(B_{T_D}\in U^{-1}A)=P^0(UB_{T_D}\in A)=P^0(B_{T_D}\in A)$ なので、 $\mu^0_D(U^{-1}A)=\mu^0_D(A)$ が分かる。
$P^x(\omega(\cdot)\in d\omega)=P^0(x+\omega(\cdot)\in d\omega)$ より、 $x$ を中心とする回転に対しても同様である。
よって、 $\mu^x_D(U^{-1}A)=\mu^x_D(A),~\forall A\subset\partial D$ 、すわなち回転に関して不変であることが分かるが、これは球面 $S^{n-1}$ 上の一様な測度、または $x$ だけ平行移動した球面上の一様な測度であることを意味し、球面測度の一意性より、 $dS:=d\sigma$ に一致する。

b) (7.2.7)と強マルコフ性より、
\begin{align*}
\int_{\partial D}u(y)dS(y)
&= \int_{\partial D} u(y) \mu^x_D(dy) \\
&= \int_{\partial D} E^y[\phi(B_{T_W})] P^x(B_{T_D}\in dy) \\
&= E^x[ E^{B_{T_D}}[\phi(B_{T_W})]] \\
&= E^x[E^x[\phi(B_{T_W})|\mathcal{F}_{T_D}]] \\
&= E^x[\phi(B_{T_W})] = u(x)
\end{align*}
である。□