4月10日のしゅくだい(7.12) - やがてめぐになる

7.12ときます。

a) 停止時刻の列 $T_n\nearrow \infty$ a.s. とする。このとき、 $(Z^{T_n}_t:=Z_{t\wedge T_n})_{0\leq t\leq T}$ はマルチンゲールである。
よって、 $s < t$ 、 $A\in\mathcal{N}_s$ に対し、
\begin{align}
E[Z^{T_n}_t\boldsymbol{1}_A]
&= E[Z^{T_n}_s\boldsymbol{1}_A] \tag{1}
\end{align}
となる。各 $0\leq t\leq T$ に対し、 $(Z^{T_n}_t)$ は $n$ に関して一様化積分なので、 $n\to\infty$ とすると $Z_t$ に $L^1$ 収束する。
(1)において $n\to\infty$ とすれば、 $E[Z_t|\mathcal{N_s}] = Z_s$ を得る。

b) 各 $0\leq t\leq T$ に対し、 $\sup_{n}E[ |Z^{T_n}_t|^2 ]\leq K$ より、 $(Z^{T_n}_t)$ は $n$ に関して一様化積分であることが分かる。したがって a) より、マルチンゲールであることが分かる。

c) $(Z^{T_n}_t)_{0\leq t\leq T}$ がマルチンゲールなので、 $s < t$ に対し、
\begin{align*}
E[Z^{T_n}_t|\mathcal{N}_s] = Z^{T_n}_s
\end{align*}
である。
下に有界であることより、 $n\to\infty$ としてFatouの補題を用いれば
\begin{align*}
E[Z_t|\mathcal{N}_s] \leq Z_s
\end{align*}
となる。□