4月10日のしゅくだい(7.17)

7.17ときます。

問題4.15より、
\begin{align*}
X_t = \left( x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}B_t \right)^3
\end{align*}
はSDE(7.5.6)を満たす。すなわち、
\begin{align*}
X_t
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t X_s^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t X_s^{\frac{2}{3}} ds
\end{align*}
の解である。
停止時刻、とする。
\begin{align*}
Y_t
:&=
\begin{cases}
X_t, & t\leq T, \\
0, & t > T
\end{cases} \\
&= X^T_t
\end{align*}
は、
\begin{align*}
X_t^T
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t X_s^{\frac{1}{3}}\boldsymbol{1}_{t\leq T} ds + \int_0^t X_s^{\frac{2}{3}}\boldsymbol{1}_{t\leq T} ds \\
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t (X^T_s)^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t (X^T_s)^{\frac{2}{3}} ds
\end{align*}
より、
\begin{align*}
Y_t
&= x + \frac{1}{3} \int _0^t Y_s^{\frac{1}{3}} ds + \int_0^t Y_s^{\frac{2}{3}} ds
\end{align*}
を満たす。
この事実は、関数、がリプシッツ条件を満たさないことから、定理5.2.1のいう一意性とは矛盾しない。□

4月10日のしゅくだい(7.12)

7.12ときます。

a) 停止時刻の列 a.s. とする。このとき、はマルチンゲールである。
よって、、に対し、
\begin{align}
E[Z^{T_n}_t\boldsymbol{1}_A]
&= E[Z^{T_n}_s\boldsymbol{1}_A] \tag{1}
\end{align}
となる。各 に対し、 は に関して一様化積分なので、とするとに収束する。
(1)においてとすれば、を得る。

b) 各に対し、より、は に関して一様化積分であることが分かる。したがって a) より、マルチンゲールであることが分かる。

c) がマルチンゲールなので、に対し、
\begin{align*}
E[Z^{T_n}_t|\mathcal{N}_s] = Z^{T_n}_s
\end{align*}
である。
下に有界であることより、としてFatouの補題を用いれば
\begin{align*}
E[Z_t|\mathcal{N}_s] \leq Z_s
\end{align*}
となる。□

4月10日のしゅくだい(7.7)

7.7ときます。

ウィーナー空間に引き戻せばブラウン運動の分布はウィーナー測度を誘導するので、最初からウィーナー空間上で考えることにする。


,
である。

a) 問題2.15より、直行行列 に対し、 もウィーナー測度のもとでブラウン運動である。また、は等長変換なので、であることより、も分かる。
よってに対し、なので、が分かる。
より、を中心とする回転に対しても同様である。
よって、、すわなち回転に関して不変であることが分かるが、これは球面上の一様な測度、またはだけ平行移動した球面上の一様な測度であることを意味し、球面測度の一意性より、に一致する。

b) (7.2.7)と強マルコフ性より、
\begin{align*}
\int_{\partial D}u(y)dS(y)
&= \int_{\partial D} u(y) \mu^x_D(dy) \\
&= \int_{\partial D} E^y[\phi(B_{T_W})] P^x(B_{T_D}\in dy) \\
&= E^x[ E^{B_{T_D}}[\phi(B_{T_W})]] \\
&= E^x[E^x[\phi(B_{T_W})|\mathcal{F}_{T_D}]] \\
&= E^x[\phi(B_{T_W})] = u(x)
\end{align*}
である。□

4月3日のしゅくだい

しゅくだい(7.2)ときます。
定理7.3.3を用いると簡単な計算により、次が得られる:
(a)

(b)
\begin{align*}
d
\begin{pmatrix}
t \\
X_t
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 \\
cX_t
\end{pmatrix}
dt +
\begin{pmatrix}
0 \\
\alpha X_t
\end{pmatrix}
dB_t
\end{align*}

(c) 4つの未知数に対し3つの方程式しか立たないので、一意に定まらない。
, とすると、
\begin{align*}
dX_t= &
\begin{pmatrix}
2X^2_t \\
\log(1+|X^1_t|^2+|X^2_t|^2)
\end{pmatrix}
dt \\[.5em]
& \quad +
\begin{pmatrix}
\pm\sin\theta + X^1_t\cos\theta & \mp\cos\theta + X^1_t\sin\theta \\
\cos\theta & \sin\theta
\end{pmatrix}
dB_t, \quad \theta \in \mathbb{R}
\end{align*}

3月20日のしゅくだい

5.9ときます。

しょうめい
ドリフト係数、拡散係数はともに定理5.2.1の(5.2.1),(5.2.2)を満たす。よって、定理5.2.1より連続な一意な強い解が存在する。□

5.14ときます。
しょうめい
(i) であり、伊藤の公式の2階部分はが調和関数であることと、であることから消える。よって、
\begin{align*}
dZ_t
&= u_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) + u_y(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \\
&\quad~ +i\{ v_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) + v_y(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \} \\
&= u_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) - v_x(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \\
&\quad~ +iv_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) + iu_x(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \\
&= \{u_x(B_1(t),B_2(t)) + iv_x(B_1(t),B_2(t))\}\{dB_1(t)+idB_2(t)\} \\
&= F'(Z_t)dB(t)
\end{align*}
となる。

(ii) とおくと、(i)より
\begin{align*}
dZ_t
&= \alpha e^{\alpha B(t)}dB(t) \\
&= \alpha Z_t dB(t)
\end{align*}
である。よって、は解である。□

※この問題に関連する話題は、本で挙げられている他にも、Ikeda-Watanabe、谷口「確率解析」にも記載がある。これらには等角マルチンゲールに関する伊藤の公式が述べられている。

3月20日のおべんきょうのつづき

を連続な確率過程とする。このとき、
\begin{align*}
P(X_r= 0,~\forall r\in\mathbb{Q}^+)=1
\end{align*}
ならば、
\begin{align*}
P(X_t=0,~\forall t\geq 0)=1
\end{align*}
である。

しょうめい 仮定より、である。
が連続なので、
\begin{align*}
\bigcup_{t\geq 0}\{X_t\neq 0\}
&= \bigcup_{r\in\mathbb{Q}^+}\{X_r \neq 0\}
\end{align*}
となる。上式において、""は自明で、""はの連続性による。
よって、であり、である。□

メルティちゃんとおともだちになりたい

3月13日のしゅくだい

5.3ときます。

とを次元ブラウン運動とする。
次のSDE
\begin{align*}
dX_t = rX_t dt + X_t \alpha\cdot dB_t, \quad X_0 > 0
\end{align*}
の解を求める。ただし、“”は通常のユークリッド内積を表す。

と置き、伊藤の公式を使うと、
\begin{align*}
dY_t
&= -re^{-rt}X_tdt + e^{-rt}dX_t \\
&= -rY_tdt + e^{-rt}(rX_tdt + X_t \alpha\cdot dB_t) \\
&= -rY_tdt + rY_tdt + Y_t\alpha\cdot dB_t \\
&= Y_t \alpha\cdot dB_t
\end{align*}

と置いて、伊藤の公式を使うと、
\begin{align*}
dZ_t
&= dY_t e^{-\alpha\cdot B_t} + Y_t d(e^{-\alpha\cdot B_t}) + dY_t d(e^{-\alpha\cdot B_t}) \\
&= e^{-\alpha\cdot B_t}Y_t \alpha\cdot dB_t - Y_t e^{-\alpha\cdot B_t}\alpha\cdot dB_t + \frac{1}{2}Y_t |\alpha|^2e^{-\alpha\cdot B_t}dt - Y_t e^{-\alpha\cdot B_t}|\alpha|^2dt \\
&= -\frac{1}{2}|\alpha|^2Z_tdt
\end{align*}
ここで、
\begin{align*}
d(e^{-\alpha\cdot B_t})
&= -e^{-\alpha\cdot B_t}\alpha\cdot dB_t + \frac{1}{2}|\alpha|^2e^{-\alpha\cdot B_t}dt
\end{align*}
である。
よって、となり、なので、
\begin{align*}
X_t = X_0 e^{\left( r-\frac{|\alpha|^2}{2} \right)t + \alpha\cdot B_t}
\end{align*}
を得る。