3月20日のしゅくだい

5.9ときます。

しょうめい
ドリフト係数、拡散係数はともに定理5.2.1の(5.2.1),(5.2.2)を満たす。よって、定理5.2.1より連続な一意な強い解が存在する。□

5.14ときます。
しょうめい
(i) であり、伊藤の公式の2階部分はが調和関数であることと、であることから消える。よって、
\begin{align*}
dZ_t
&= u_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) + u_y(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \\
&\quad~ +i\{ v_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) + v_y(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \} \\
&= u_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) - v_x(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \\
&\quad~ +iv_x(B_1(t),B_2(t))dB_1(t) + iu_x(B_1(t),B_2(t))dB_2(t) \\
&= \{u_x(B_1(t),B_2(t)) + iv_x(B_1(t),B_2(t))\}\{dB_1(t)+idB_2(t)\} \\
&= F'(Z_t)dB(t)
\end{align*}
となる。

(ii) とおくと、(i)より
\begin{align*}
dZ_t
&= \alpha e^{\alpha B(t)}dB(t) \\
&= \alpha Z_t dB(t)
\end{align*}
である。よって、は解である。□

※この問題に関連する話題は、本で挙げられている他にも、Ikeda-Watanabe、谷口「確率解析」にも記載がある。これらには等角マルチンゲールに関する伊藤の公式が述べられている。