3月20日のおべんきょうのつづき

$(X_t)_{t\geq 0}$ を連続な確率過程とする。このとき、
\begin{align*}
P(X_r= 0,~\forall r\in\mathbb{Q}^+)=1
\end{align*}
ならば、
\begin{align*}
P(X_t=0,~\forall t\geq 0)=1
\end{align*}
である。

しょうめい 仮定より、 $P(\bigcup_{r\in\mathbb{Q}^+}\{X_r\neq 0\})=0$ である。
$(X_t)$ が連続なので、
\begin{align*}
\bigcup_{t\geq 0}\{X_t\neq 0\}
&= \bigcup_{r\in\mathbb{Q}^+}\{X_r \neq 0\}
\end{align*}
となる。上式において、" $\supset$ "は自明で、" $\subset$ "は $(X_t)$ の連続性による。
よって、 $\bigcup_{t\geq 0}\{X_t\neq 0\}\in\mathcal{F}$ であり、 $P(\bigcup_{t\geq 0}\{X_t\neq 0\})=0$ である。□