2月27日のしゅくだい - やがてめぐになる

問題4.6

(b)を示せば、 $n=1$ とすることで(a)が得られる。よって(a)のみを示す。
中点" $\cdot$ "で $\mathbb{R}^n$ のユークリッド内積を表すとし、 $f(t,x)=e^{ct+\alpha\cdot x}$ とおく。
\begin{align*}
& \partial_t f(t,x) = cf(t,x), \\
& \nabla_x f(t,x) = f(t,x)\alpha, \\
& \partial_{x_ix_j}f(t,x) = f(t,x)\alpha_i\alpha_j
\end{align*}
となる。
$X_t=f(t,B_t)$ であり、伊藤の公式より、
\begin{align*}
dX_t
&= \partial_tf(t,B_t)dt + \nabla_xf(t,B_t)\cdot dB_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^n \partial_{x_ix_j}f(t,B_t)dB^i_tdB^j_t \\
&= c X_t dt + X_t \alpha\cdot dB_t + \frac{1}{2}|\alpha|^2X_tdt \\
&= \left( c+\frac{1}{2}|\alpha|^2 \right)X_tdt + X_t \alpha\cdot dB_t
\end{align*}
を得る。