2月27日のしゅくだい2

4.12
ヒントを使います。面倒なので、以下ではを単にと書くことにします。

任意のと任意のに対し、が-マルチンゲールなので、
\begin{align*}
E\left[ \int_t^s u(r) dr \boldsymbol{1}_A \right]=0
\end{align*}
である。
ここで、で微分すると(優収束定理)、
\begin{align*}
E[u(s)\boldsymbol{1}_A]=0
\end{align*}
を得る。よって、は任意なので、 a.s., a.e. である。
任意のでであることと、系C.9より、 a.e.を得る。□